Peut être un relai qui n'aime pas le froid...
Mais je ne sais pas si il y a des relais ailleurs que sur le BSM sur nos 407...
Le problème de changer le BSI, c'est qu'il en faut un vierge et qu'il soit paramétré chez Peugeot via un outil qui récupère toute la config du véhicule en ligne sur le serveur PSA.
C'est aussi possible de le paramétrer en manuel, mais il faut avoir la liste de configuration de celui d'origine.
Sinon, acheter un kit de démarrage complet d'occasion (calculateur moteur, BSI, télecommandes).